Allan方差是什麽？（上）

1.引言

       在研究晶體(ti) 振蕩器和原子鍾的穩定性時，人們(men) 發現這些係統的相位噪聲中不僅(jin) 有白噪聲，而且有閃爍噪聲。使用傳(chuan) 統的統計工具（例如標準差）分析這類噪聲時統計結果是無法收斂的。為(wei) 了解決(jue) 這個(ge) 問題，David Allan於(yu) 1966年提出了Allan方差分析，該方法不僅(jin) 可以準確識別噪聲類型，還能準確確定噪聲的特性參數，其優(you) 點在於(yu) 對各類噪聲的冪律譜項都是收斂的。該方法初被用於(yu) 分析晶振或原子鍾的相位和頻率不穩定性，比如，晶振的中心頻率均采用Allan方差來表征時域內(nei) 的穩定度。由於(yu) gao端陀螺，氣體(ti) 傳(chuan) 感等各類物理量測儀(yi) 器本身也具有晶振的特征，因此該方法隨後被廣泛應用於(yu) 各種物理傳(chuan) 感器的隨機誤差辨識中。

這些是本文即將涵蓋的主題。

       下文中，我們(men) 首先將從(cong) 整體(ti) 上介紹傳(chuan) 感器噪聲的基礎知識。有了噪聲知識，我們(men) 將討論Allan方差圖的含義(yi) ，幫助你在購買(mai) 產(chan) 品中使用這些數據進行決(jue) 策以及在使用產(chan) 品時校正傳(chuan) 感器的噪聲。

2.信號，噪聲和數據

2.1.噪聲

       這隻是一個(ge) 純粹的定義(yi) ，但將對我們(men) 的分析很有幫助。如果這個(ge) 定義(yi) 不正確，則信號中不趨近於(yu) 零的部分就不是“噪聲”，而是其他的東(dong) 西。可能是某種幹擾，可能是傳(chuan) 感器的偏移量，甚至，可能就是你要測量的數據！信號中不是噪聲又不是實際數據的部分通常稱為(wei) “錯誤”。在現實世界中的數據流（即信號）中，所有這些因素和其他因素共同構成了傳(chuan) 感器輸出的值。以加速度計為(wei) 示例：

       即使這樣，我們(men) 也無法使用單個(ge) 數據點來很好地校正噪聲。首先，噪聲水平通常是“大”噪聲。這意味著噪聲將偏離實際數據值約0.01g，但其幅度也可能更小。即使我們(men) 假設噪聲始終為(wei) 0.01g，該特定數據點上的噪聲是疊加還是降低？換句話說，我們(men) 的測量值實際上是1.062還是1.042？沒有辦法知道。

測量噪聲

       如果將所有這些值取平均值，我們(men) 將得到沿藍線的值。它非常接近零，為(wei) -0.008。這裏可能涉及到準確性的問題（我們(men) 將在今後的文章中介紹有關(guan) 準確性Accuracy和分辨率Resolution的定義(yi) 和應用）。但是由於(yu) 該傳(chuan) 感器已經過校準，因此上述偏差的原因更可能是由於(yu) 加速度計相對於(yu) 地球重力矢量略有傾(qing) 斜引起的，這會(hui) 導致加速度在X或Y方向上存在一定的分量。

       但是，你可能會(hui) 想：這種分析僅(jin) 在我們(men) 不想測量任何變化的數據時才會(hui) 有效。因為(wei) 你買(mai) 加速度計可不隻是為(wei) 了測重力，你實際上希望它能夠移動——在真實應用環境中測量加速度隨時間的變化。為(wei) 此，我們(men) 需要表征噪聲隨時間變化的情況，因此需要找出能夠校正噪聲之前，要采集數據的時間長度。

3.Allan方差

       對於(yu) 許多傳(chuan) 感器而言，存在一段理想的時間長度，在該時間長度上取平均值（或其他統計參數）可以獲得噪聲的小值（至少對於(yu) 某些類型的噪聲）。以上麵的250萬(wan) 個(ge) 點為(wei) 例，我們(men) 可以問一個(ge) 問題：要以較高的信噪比達到-0.008的期望值，我們(men) 需要至少平均多少個(ge) 點？這是一個(ge) 很好的問題，但不幸的是，對於(yu) 所獲取的數據集，直到獲得很多數據點之後，我們(men) 才知道-0.008這個(ge) “答案”。

       現在，我們(men) 將每個(ge) 單獨的數據點視為(wei) 一個(ge) “組”，而不是由125萬(wan) 個(ge) 點組成的兩(liang) 組。也就是說，我們(men) 現在有250萬(wan) 個(ge) “組”。在這種情況下，我們(men) 做同樣的事情——“平均”每個(ge) 組（在這種情況下，每“組”隻有一個(ge) 數據），然後檢查所有組平均值之間的方差。當將每個(ge) 單獨的點視為(wei) 一個(ge) “組”時，組平均值的方差就等於(yu) 傳(chuan) 感器在以每個(ge) 點的平均時間為(wei) 間隔時的噪聲。以上述傳(chuan) 感器為(wei) 例，兩(liang) 側(ce) 的平均值大約為(wei) 0.01g（總計0.02g）。

       為(wei) 此，我們(men) 不僅(jin) 要有一個(ge) 或125萬(wan) 個(ge) 小組，而且要嚐試所有組的規模。因此，我們(men) 可以遍曆整個(ge) 數據集，並將其分成由2個(ge) 數據點構成的組，然後分別平均。然後以3，4，5 .... 10 .... 100 .... 1000等個(ge) 數據點為(wei) 組，分別進行平均。後我們(men) 找到所有大小相等的數據組之間的方差。隨著數據組變得越來越長，不同數據組之間的平均值會(hui) 越來越接近，因為(wei) 每個(ge) 數據組的平均值會(hui) 越來越接近“真實”的平均值。

       幸運的是，網上已經有很多程序可以讓我們(men) 做Allan方差計算。其文檔和資源可在線獲得。我們(men) 利用這些程序可得到如下圖：

       該圖顯示了我們(men) 期望的結果（即，確實存在一個(ge) 非常明顯的點，對足夠大的一組數據求平均會(hui) 使噪聲水平比數據數量較少的組小）。但是，這個(ge) 圖並不是非常有用，有兩(liang) 個(ge) 原因：

• 這種變化過於(yu) 劇烈，以至於(yu) 很難說出理想的組數是多少 

• 方差的單位是傳(chuan) 感器值的平方，而“加速度平方”不是一個(ge) 很直觀的單位 

還有一個(ge) 奇怪的事實是，方差在下降之後會(hui) 再次上升，我們(men) 稍後再來討論這點。

       不過，我們(men) 可以通過將數據放在對數——對數圖上來解決(jue) di一個(ge) 問題。下降之所以如此急劇，是因為(wei) 方差在較短的橫軸區間內(nei) 下降了幾個(ge) 數量級。因此，對數——對數圖將給較小的數字更大的權重，並加重變化。我們(men) 可以使用Origin或者Matlab將上述數據重新作圖，將橫軸和縱軸都更改成對數坐標，從(cong) 而得到如下圖：

       在di一個(ge) 線性圖中方差的平方增加對應對數——對數圖中的顯著轉折。即使在線性圖上，也可以清楚看到與(yu) 初始的噪聲降低相比，噪聲也隻是略有上升的趨勢。